동심원 띠 넓이 급수

다음 그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $r _{0}$인 원 $\mathrm{C} _{0}$가 있다. 원 $\mathrm{C} _{0}$의 반지름을 $3$등분하여 원점 $\mathrm{O}$에서부터 가까운 점을 차례로 $\mathrm{P} _{1} , \mathrm{Q} _{1}$이라 하고, 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름을 $\displaystyle \overline{\mathrm{O} P _{1} ^{}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{O} Q _{1} ^{}}$으로 하는 원을 각각 $\mathrm{C} _{1}$, $\mathrm{D} _{1}$이라 하자. 같은 방법으로 원 $\mathrm{C} _{1}$의 반지름 $\displaystyle \overline{\mathrm{O} P _{1} ^{}}$을 $3$등분하여 원점 $\mathrm{O}$에서부터 가까운 점을 차례로 $\mathrm{P} _{2} , \mathrm{Q} _{2}$이라 하고, 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름을$\displaystyle \overline{\mathrm{O} P _{2} ^{}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{O} Q _{2} ^{}}$으로 하는 원을 각각 $\mathrm{C} _{2}$,$\mathrm{D} _{2}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 원 $\mathrm{C} _{n} , \mathrm{D} _{n}$(단, $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)을 만든다. 이 때, 원 $\mathrm{D} _{n}$의 넓이에서 원 $\mathrm{C} _{n}$의 넓이를 뺀 값을 $S _{n}$이라 하면 $\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1 ^{}} ^{\infty} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{3}{4} \pi r _{0} ^{2}$②$\displaystyle \frac{3}{8} \pi r _{0} ^{2}$③$\displaystyle \frac{5}{8} \pi r _{0} ^{2}$④$\displaystyle \frac{9}{16} \pi r _{0} ^{2}$⑤$\displaystyle \frac{9}{64} \pi r _{0} ^{2}$

주관식 문항 (25 ～ 30)