대수수열의 합수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

동전 뒤집기 수열

문제

동전의 앞면과 뒷면은 다음과 같다. 앞 뒤

동전 4n4 n개 (nn은 자연수)가 앞면이 보이도록 일렬로 나열되어 있다. 이웃한 동전 한 쌍을 뒤집는 시행을 반복하여 <그림>과 같이 앞면과 뒷면이 앞면부터 교대로 나열되도록 만들려고 한다.

<그림>

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 일반항은

an=a _{n} =(\displaystyle \left( \begin{array}{l} \\ \\ \end{array} \right.앞면이 보이도록 나열된 4n4 n개의 동전을 <그림> 처럼 만드는데 필요한 최소의 시행 횟수)\displaystyle \left. \begin{array}{l} \\ \\ \end{array} \right)

이다. 예를 들어, 앞면이 보이도록 나열된 44개의 동전을

와 같이 두 번의 시행으로 <그림>처럼 만들 수 있으므로 a1=2a _{1} = 2이다. ∑n=120an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} a _{n}의 값을 구하시오. [4점]

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420

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해설

[출제의도] 수열의 규칙성을 이용하여 여러 가지 수열 문제를 해결한다. ana _{n}의 경우, 마지막 상태에서는 4n4 n개의 동전 중 2n2 n개의 동전이 이므로 적어도 2n2 n번의 시행을 해야 한다. 그런데 4n4 n개 동전을 44개씩 nn개의 묶음으로 나누면 각 묶음마다 22회씩을 시행하여 총 2n2 n회의 시행 후 마지막 상태를 만들 수 있다. 즉, ... ⇨ ... ⇨ ... ⇨ ... ⇨ ... ⇨ ... ⇨ ... 와 같이 2n2 n번의 시행으로 마지막 상태를 만들 수 있으므로 an=2na _{n} = 2 n이다. 따라서 ∑n=120an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} a _{n}=∑n=1202n\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{20} 2 n=2∑n=120n\displaystyle = 2 \sum\limits _{n = 1} ^{20} n=2×20⋅212\displaystyle = 2 \times \frac{20 \cdot 21}{2}=420= 420

태그

#수열의 규칙#수열의 합

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