동경 길이 규칙

$\displaystyle a _{n} = \mathrm{\overline{OP}} _{\mathit{n}}$이라 하자. $\displaystyle y _{n} = a _{n} \sin \frac{n - 1}{3} \pi$에서 $y _{1} = 0$, $y _{2} > 0$, $y _{3} > 0$, $y _{4} = 0$, $y _{5} < 0$, $y _{6} < 0$, $y _{7} = 0$, $\cdots$ 으로 $y _{n}$의 부호가 주기적으로 바뀐다. 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 몇 개의 항을 구하면

으로 동경 ${\mathrm{OP}} _{1}$에서 동경 ${\mathrm{OP}} _{7}$까지 동경이 $2 \pi$만큼 회전하면 $a _{7}$은 $a _{1}$의 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \left( \frac{4}{3} \right) ^{2}$배이다. 즉, $2 \pi$만큼씩 회전할 때마다 그 이전 길이의 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \left( \frac{4}{3} \right) ^{2}$$\displaystyle = \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}$배가 된다. $\displaystyle a _{n+6} = \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} a _{n}$인 관계가 성립하므로 $\displaystyle a _{50} = \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} a _{44} = \cdots = \left( \frac{2}{3} \right) ^{16} a _{2} = \left( \frac{2}{3} \right) ^{16}$