도형에 수 적기

[출제의도] 순열과 조합을 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다.

그림과 같이 정삼각형에 적힌 수를 ${a}$, 정사각형에 적힌 수를 왼쪽부터 차례로 ${b}$, ${c}$, ${d}$라 하자. 조건 (가)에서 ${a > b}$, ${a > c}$, ${a > d}$이다. 조건 (나)에서 ${b \neq c}$, ${c \neq d}$이다. (ⅰ) ${b \ne d}$일 때 ${a}$, ${b}$, ${c}$, ${d}$가 서로 다르다. ${6}$ 이하의 자연수 중에서 서로 다른 ${4}$개의 수를 택하는 경우의 수는 ${\mathrm{_{6}} C _{4} = 15}$ 이 각각에 대하여 택한 ${4}$개의 수 중에서 가장 큰 수를 ${a}$라 하고, 나머지 ${3}$개의 수를 ${b}$, ${c}$, ${d}$로 정하면 되므로 이 경우의 수는 ${1 \times 3 ! = 6}$ 따라서 ${b \ne d}$인 경우의 수는 ${15 \times 6 = 90}$ (ⅱ) ${b = d}$일 때 ${a > b = d}$, ${a > c}$이므로 ${a}$, ${b}$, ${c}$, ${d}$ 중 서로 다른 수의 개수는 ${3}$이다. ${6}$ 이하의 자연수 중에서 서로 다른 ${3}$개의 수를 택하는 경우의 수는 ${\mathrm{_{6}} C _{3} = 20}$ 이 각각에 대하여 택한 ${3}$개의 수 중에서 가장 큰 수를 ${a}$라 하고, 나머지 ${2}$개의 수를 ${b}$(${= d}$), ${c}$로 정하면 되므로 이 경우의 수는 ${1 \times 2 !}$${= 2}$ 따라서 ${b = d}$인 경우의 수는 ${20 \times 2 = 40}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 ${90 + 40 = 130}$ [다른 풀이] 조건 (가), (나)에서 ${a}$보다 작은 수가 적어도 ${2}$개 존재해야 하므로 ${a \geq 3}$ (ⅰ) ${a = 3}$일 때 ${c}$는 ${1}$, ${2}$ 중 하나이다. 이 각각에 대하여 ${b}$, ${d}$는 ${1}$, ${2}$ 중 ${c}$가 아닌 수이면 되므로 ${1 \times 1}$${= 1 ^{2}}$ 따라서 ${a = 3}$인 경우의 수는 ${2 \times 1 ^{2} = 2}$ (ⅱ) ${a = 4}$일 때 ${c}$는 ${1}$, ${2}$, ${3}$ 중 하나이다. 이 각각에 대하여 ${b}$, ${d}$는 ${1}$, ${2}$, ${3}$ 중 ${c}$가 아닌 수이면 되므로 ${2 \times 2 = 2 ^{2}}$ 따라서 ${a = 4}$인 경우의 수는 ${3 \times 2 ^{2} = 12}$ (ⅲ) ${a = 5}$일 때 ${c}$는 ${1}$, ${2}$, ${3}$, ${4}$ 중 하나이다. 이 각각에 대하여 ${b}$, ${d}$는 ${1}$, ${2}$, ${3}$, ${4}$ 중 ${c}$가 아닌 수이면 되므로 ${3 \times 3 = 3 ^{2}}$ 따라서 ${a = 5}$인 경우의 수는 ${4 \times 3 ^{2} = 36}$ (ⅳ) ${a = 6}$일 때 ${c}$는 ${1}$, ${2}$, ${3}$, ${4}$, ${5}$ 중 하나이다. 이 각각에 대하여 ${b}$, ${d}$는 ${1}$, ${2}$, ${3}$, ${4}$, ${5}$ 중 ${c}$가 아닌 수이면 되므로 ${4 \times 4 = 4 ^{2}}$ 따라서 ${a = 6}$인 경우의 수는 ${5 \times 4 ^{2} = 80}$ (ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는 ${2 + 12 + 36 + 80 = 130}$