도형 넓이의 급수

아래 그림과 같이 원 $O$의 중심을 $\mathrm{O}$, 원 $O$와 중심이 $\mathrm{A}$인 원이 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자.

이때, 삼각형 $\mathrm{AOC}$는 정삼각형이므로 $S _{1} = 1 ^{2} \times \pi - 4 \times \left\{ 2 \times ( \text{부채꼴} \mathrm{OAC} ) - \triangle \mathrm{AOC} \right\}$ $\displaystyle = 1 ^{2} \times \pi - 4 \times \left\{ 2 \times \left( \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \frac{\pi}{3} \right) - \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1 ^{2} \right\}$ $\displaystyle = \pi - \left( \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3} \right)$ $\displaystyle = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ 한편, 도형 $R _{n}$에서 가장 작은 원은 개수가 $2 ^{n - 1}$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$이므로 $\displaystyle S _{n} = S _{1} + 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \times S _{1} + \cdots + 2 ^{n - 1} \times \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \right\} ^{n - 1} S _{1}$ $\displaystyle = S _{1} + \frac{1}{2} S _{1} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} S _{1} + \cdots + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} S _{1}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{S _{1}}{1 - \frac{1}{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}}{1 - \frac{1}{2}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} - \frac{2}{3} \pi$