도형 넓이의 극한

[출제의도] 도형이 주어진 삼각함수의 극한문제 해결하기 그림과 같이 점 $Q$에서 선분 $OA$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자

선분 $OQ$의 길이를 $k$라 하면 $\displaystyle {\overline{OH}} = k \cos \theta$, $\displaystyle {\overline{QH}} = k \sin \theta$ 삼각형 $AHQ$는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{AH}} = k \sin \theta$ $\displaystyle {\overline{OA}} = {\overline{OH}} + {\overline{AH}} = k \cos \theta + k \sin \theta = 1$이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{\sin \theta + \cos \theta}$ 삼각형 $QOA$와 삼각형 $QPR$는 서로 닮음이고 닮음비가 $k : 1 - k$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1 : \left( \frac{1 - k}{k} \right) ^{2}$ 삼각형 $QOA$의 넓이는 $\displaystyle \frac{k \sin \theta}{2}$ 삼각형 $QPR$의 넓이 $S ( \theta )$는 $\displaystyle S ( \theta ) = \frac{k \sin \theta}{2} \times \left( \frac{1 - k}{k} \right) ^{2} = \frac{( 1 - k ) ^{2} \sin \theta}{2 k}$ $\displaystyle k = \frac{1}{\sin \theta + \cos \theta}$을 대입하여 정리하면 $\displaystyle S ( \theta ) = \frac{( \sin \theta + \cos \theta - 1 ) ^{2} \times \sin \theta}{s ( \sin \theta + \cos \theta )}$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\left( \frac{\sin \theta + \cos \theta - 1}{\theta} \right) ^{2} \times \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right)}{2 ( \sin \theta + \cos \theta )} = \frac{1}{2}$