미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

도형 넓이의 극한

문제

그림과 같이 빗변 AC\mathrm{AC}의 길이가 11이고 ∠BAC=θ\mathrm{\angle} BAC = \theta인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 점 B\mathrm{B}를 중심으로 하고 점 C\mathrm{C}를 지나는 원이 선분 AC\mathrm{AC}와 만나는 점 중 점 C\mathrm{C}가 아닌 점을 D\mathrm{D}라 하고, 점 D\mathrm{D}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 E\mathrm{E}라 하자. 사각형 BCDE\mathrm{BCDE}의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→0+S(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}}의 값은? (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}) [4점]

①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③11④22⑤44

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④

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해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 극한값을 추측한다. BC‾=BD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = \mathrm{\overline{BD}}=sin⁡θ= \sin \theta이므로 삼각형 BCD\mathrm{BCD}는 이등변삼각형이다. ∠BCD\angle \mathrm{BCD}=∠BDC= \angle \mathrm{BDC}=π2−θ\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \theta ∠CBD=π−2(π2−θ)=2θ\displaystyle \angle \mathrm{CBD} = \pi - 2 \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = 2 \theta, ∠BDE=2θ\mathrm{\angle} BDE = 2 \theta DE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}}=sin⁡θcos⁡2θ= \sin \theta \cos 2 \theta, BE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}}=sin⁡θsin⁡2θ= \sin \theta \sin 2 \theta 따라서 사다리꼴 BCDE\mathrm{BCDE}의 넓이는 S(θ)S \left( \theta \right)=12{(sin⁡θcos⁡2θ+sin⁡θ)×sin⁡θsin⁡2θ}\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \left( \sin \theta \cos 2 \theta + \sin \theta \right) \times \sin \theta \sin 2 \theta \right\} =12sin⁡2θsin⁡2θ(1+cos⁡2θ)\displaystyle = \frac{1}{2} \sin ^{2} \theta \sin 2 \theta \left( 1 + \cos 2 \theta \right) lim⁡θ→0+S(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta ^{3}}}=lim⁡θ→0+{(sin⁡θθ)2×sin⁡2θ2θ×(1+cos⁡2θ)}\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left\{ \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) ^{2} \times \frac{\sin 2 \theta}{2 \theta} \times \left( 1 + \cos 2 \theta \right) \right\}} =12×1×2=2= 1 ^{2} \times 1 \times 2 = 2

태그

#삼각함수의 극한#도형

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