미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

도형 넓이의 극한

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 3인 정사각형 ABCDABCD에 대하여 AE‾=CF‾\displaystyle {\overline{AE}} = {\overline{CF}}를 만족하는 점 EE와 점 FF가 각각 선분 ADAD와 선분 CDCD 위에 있다. 점 EE에서 선분 BFBF에 내린 수선의 발을 HH, 점 FF에서 선분 BEBE에 내린 수선의 발을 GG, 선분 EHEH와 FGFG의 교점을 II라 하자. ∠FBC=θ\angle FBC = \theta일 때, 삼각형 IHFIHF의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S ( \theta )}{\theta}의 값은? (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}) [4점]

①1②3③5④7⑤9

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 삼각함수의 극한을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 직각삼각형 BFGBFG에서 ∠GBF=π2−2θ\displaystyle \angle GBF = \frac{\pi}{2} - 2 \theta이므로 ∠BFG=2θ\angle BFG = 2 \theta이다. 삼각형 BCFBCF에서 선분 BFBF의 길이는 3cos⁡θ\displaystyle \frac{3}{\cos \theta}이다. 또한 직각삼각형 BFGBFG에서 BG‾=3cos⁡θ×sin⁡2θ=3sin⁡2θcos⁡θ\displaystyle {\overline{BG}} = \frac{3}{\cos \theta} \times \sin 2 \theta = \frac{3 \sin 2 \theta}{\cos \theta} 직각삼각형 BFGBFG와 BEHBEH가 합동이므로 BH‾=BG‾=3sin⁡2θcos⁡θ\displaystyle {\overline{BH}} = {\overline{BG}} = \frac{3 \sin 2 \theta}{\cos \theta}가 성립한다. 따라서 HF‾=BF‾−BH‾=3cos⁡θ−3sin⁡2θcos⁡θ\displaystyle {\overline{HF}} = {\overline{BF}} - {\overline{BH}} = \frac{3}{\cos \theta} - \frac{3 \sin 2 \theta}{\cos \theta}=3cos⁡θ(1−sin⁡2θ)\displaystyle = \frac{3}{\cos \theta} ( 1 - \sin 2 \theta ) 또한 HI‾=HF‾tan⁡2θ=3cos⁡θ(1−sin⁡2θ)tan⁡2θ\displaystyle {\overline{HI}} = {\overline{HF}} \tan 2 \theta = \frac{3}{\cos \theta} ( 1 - \sin 2 \theta ) \tan 2 \theta 그러므로 S(θ)=12×3cos⁡θ(1−sin⁡2θ)×3cos⁡θ(1−sin⁡2θ)tan⁡2θ\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{\cos \theta} ( 1 - \sin 2 \theta ) \times \frac{3}{\cos \theta} ( 1 - \sin 2 \theta ) \tan 2 \theta lim⁡θ→0+S(θ)θ=9\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S ( \theta )}{\theta} = 9

태그

#삼각함수의 극한#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로