미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

도형 무한등비급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 66인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외심을 O\mathrm{O}라 할 때, 중심이 A\mathrm{A}이고 반지름의 길이가 AO‾\displaystyle \mathrm{\overline{AO}}인 원을 OAO _{A}, 중심이 B\mathrm{B}이고 반지름의 길이가 BO‾\displaystyle \mathrm{\overline{BO}}인 원을 OBO _{B}, 중심이 C\mathrm{C}이고 반지름의 길이가 CO‾\displaystyle \mathrm{\overline{CO}}인 원을 OcO _{c}라 하자. 원 OAO _{A}와 원 OBO _{B}의 내부의 공통부분, 원 OAO _{A}와 원 OcO _{c}의 내부의 공통부분, 원 OBO _{B}와 원 OcO _{c}의 내부의 공통부분 중 삼각형 ABC\mathrm{ABC}내부에 있는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 원 OAO _{A}가 두 선분 AB,AC\mathrm{AB} , AC와 만나는 점을 각각 D,E,\mathrm{D} , E ,원 OBO _{B}가 두 선분 AB,BC\mathrm{AB} , BC와 만나는 점을 각각 F,G,\mathrm{F} , G ,OCO _{C}가 두 선분 BC,AC\mathrm{BC} , AC와 만나는 점을 각각 H,I\mathrm{H} , I라 하고, 세 정삼각형 AFI,BHD,CEG\mathrm{AFI} , BHD , CE G에서 R1R _{1}을 얻는 과정과 같은 방법으로 각각 만들어지는 모양의 도형 33개에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에 새로 만들어진 세 개의 정삼각형에 각각 R1R _{1}에서 R2R _{2}를 얻는 과정과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형 99개에 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{\mathit{n}}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

①(2π−33)(3+3)\displaystyle ( 2 \pi - 3 \sqrt{3} ) ( \sqrt{3} + 3 )②(π−3)(3+3)\displaystyle ( \pi - \sqrt{3} ) ( \sqrt{3} + 3 )③(2π−33)(23+3)\displaystyle ( 2 \pi - 3 \sqrt{3} ) ( 2 \sqrt{3} + 3 )④(π−3)(23+3)\displaystyle ( \pi - \sqrt{3} ) ( 2 \sqrt{3} + 3 )⑤(2π−23)(3+3)\displaystyle ( 2 \pi - 2 \sqrt{3} ) ( \sqrt{3} + 3 )

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③

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해설

OO가 정삼각형의 외심이므로 무게중심과 일치한다. DF‾\displaystyle \overline{DF}의 중점을 MM이라 하자. S1=6×(부채꼴AOD−삼각형AOM)S _{1} = 6 \times ( \text{부채꼴} AOD - \text{삼각형} AOM ) 부채꼴AOD−삼각형AOM=a\text{부채꼴} AOD - \text{삼각형} AOM = a 라 하면 AO‾=23,AM‾=3\displaystyle \overline{AO} = 2 \sqrt{3} , \overline{AM} = 3 a=12(23)2×π6−12×3×3\displaystyle a = \frac{1}{2} ( 2 \sqrt{3} ) ^{2} \times \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{3} =π−323\displaystyle = \pi - \frac{3}{2} \sqrt{3} ∴S1=6(π−323)\displaystyle \therefore S _{1} = 6 ( \pi - \frac{3}{2} \sqrt{3} ) AF‾=6−BF‾=6−23\displaystyle \overline{AF} = 6 - \overline{BF} = 6 - 2 \sqrt{3}이므로 한 변의 길이가 6인 정삼각형ABCABC가 삼각형 AFIAFI 로 축소되므로 길이의 비는 6−236\displaystyle \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{6} , 넓이의 비는 (6−236)2\displaystyle ( \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{6} ) ^{2} , 개수는 3배로 증가하므로, lim⁡n→∞Sn=6(π−323)1−3(6−236)2=(2π−33)(23+3)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{6 ( \pi - \frac{3}{2} \sqrt{3} )}{1 - 3 ( \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{6} ) ^{2}} = ( 2 \pi - 3 \sqrt{3} ) ( 2 \sqrt{3} + 3 )}

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