도형 무한등비급수

반지름의 길이가 $2$인 원 $O _{1}$에 내접하는 정삼각형 $A _{1} B _{1} C _{1}$이 있다. 그림과 같이 직선 $A _{1} C _{1}$과 평행하고 점 $B _{1}$을 지나지 않는 원 $O _{1}$의 접선 위에 두 점 $D _{1} , E _{1}$을 사각형 $A _{1} C _{1} D _{1} E _{1}$이 직사각형이 되도록 잡고, 직사각형 $A _{1} C _{1} D _{1} E _{1}$의 내부와 원 $O _{1}$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에 정삼각형 $A _{1} B _{1} C _{1}$에 내접하는 $O _{2}$와 원 $O _{2}$에 내접하는 정삼각형 $A _{2} B _{2} C _{2}$를 그리고, 그림 $R _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 $A _{2} C _{2} D _{2} E _{2}$를 그리고 직사각형 $A _{2} C _{2} D _{2} E _{2}$의 내부와 원 $O _{2}$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle 4 \sqrt{3} - \frac{16}{9} \pi$②$\displaystyle 4 \sqrt{3} - \frac{5}{3} \pi$③$\displaystyle 4 \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi$④$\displaystyle 5 \sqrt{3} - \frac{16}{9} \pi$⑤$\displaystyle 5 \sqrt{3} - \frac{5}{3} \pi$