미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

도형 무한등비급수

문제

빗변 BC\mathrm{BC}의 길이가 22인 직각이등변삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 그림과 같이 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 직각을 낀 두 변에 내접하고 두 점 B1\mathrm{B} _{1}, C1\mathrm{C} _{1}이 선분 BC\mathrm{BC} 위에 놓이도록 정사각형 P1B1C1Q1\mathrm{P} _{1} B _{1} C _{1} Q _{1}을 그린다. 중심이 A\mathrm{A}, 반지름의 길이가 AP1‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP _{1}}}이고 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 부채꼴 AP1Q1\mathrm{AP} _{1} Q _{1}을 그린 후 부채꼴 AP1Q1\mathrm{AP} _{1} Q _{1}의 호 P1Q1\mathrm{P} _{1} Q _{1}과 선분 P1Q1\mathrm{P} _{1} Q _{1}로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 F1F _{1}이라 하자. 그림 F1F _{1}에 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}을 그리고, 직각이등변삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}에서 그림 F1F _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어 지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 F2F _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 FnF _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

…

…

①5(π−2)16\displaystyle \frac{5 ( \pi - 2 )}{16}②π−24\displaystyle \frac{\pi - 2}{4}③3(π−2)16\displaystyle \frac{3 ( \pi - 2 )}{16}④π−28\displaystyle \frac{\pi - 2}{8}⑤π−216\displaystyle \frac{\pi - 2}{16}

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⑤

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해설

[출제의도] 등비수열의 일반항을 추측하여 무한등비급수의 합을 구한다.

두 삼각형 P1BB1\mathrm{P} _{1} B B _{1}, Q1CC1\mathrm{Q} _{1} C C _{1}은 직각이등변삼각형이고 사각형 P1B1C1Q1\mathrm{P} _{1} B _{1} C _{1} Q _{1}은 정사각형이므로 BB1‾\displaystyle \mathrm{\overline{B B _{1}}}=P1B1‾\displaystyle = \mathrm{\overline{P _{1} B _{1}}}=B1C1‾\displaystyle = \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}}=C1C‾\displaystyle = \mathrm{\overline{C _{1} C}}, BC‾:B1C1‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} : \overline{B _{1} C _{1}}=3:1= 3 : 1 그러므로 의 넓이의 비는 9:19 : 1 그런데 삼각형 AP1Q1\mathrm{AP} _{1} Q _{1}은 선분 P1Q1\mathrm{P} _{1} Q _{1}이 빗변인 직각이등변삼각형이므로 AP1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP} _{1}}}=AB‾−BP1‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} - {\overline{\mathrm{BP} _{1}}}=23\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{3} S1S _{1}은 부채꼴 AP1Q1\mathrm{AP} _{1} Q _{1}의 넓이에서 삼각형 AP1Q1\mathrm{AP} _{1} Q _{1}의 넓이를 뺀 값이므로 S1S _{1}=12(23)2π2−12(23)2\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right) ^{2} \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right) ^{2}=π−218\displaystyle = \frac{\pi - 2}{18} 따라서 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}=π−2181−19\displaystyle = \frac{\frac{\pi - 2}{18}}{1 - \frac{1}{9}}=π−216\displaystyle = \frac{\pi - 2}{16}

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#무한등비급수#도형

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