대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

도형 경로 점화식

문제

다음과 같이 정사각형에 대각선을 각각 하나씩 그어 [도형 11]과 [도형 22]를 만든다.

[도형 11]과 [도형 22]를 번갈아 가며 계속 붙여 아래 그림과 같은 도형을 만든다. 그림과 같이 처음으로 붙여지는 [도형 11]의 왼쪽아래 꼭짓점을 P\mathrm{P}라 하고, [도형 11]의 개수와 [도형 22]의 개수를 합하여 nn개 붙여 만든 도형에서 가장 오른쪽 대각선의 끝점을 An{\mathrm{A}} _{n}이라고 하자.

지나온 선분으로 되돌아 갈 수 없고, 오른쪽 또는 위 아래, 대각선으로만 움직인다. 꼭짓점 P\mathrm{P}에서 A1,A2,A3,⋯ ,An−1\mathrm{A} _{1} , A _{2} , A _{3} , \cdots , A _{\mathit{n} - 1}을 대각선으로만 모두 거쳐서 An{\mathrm{A}} _{n}까지 도착하는 경로의 수를 ana _{n}이라고 할 때, a5a _{5}의 값은?[4점]

①124124②134134③144144④154154⑤164164

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③

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해설

[출제의도] 두 개의 도형이 연결된 도형에서 패턴 찾기를 이용해 어떤 점까지의 경로의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. an+2=2an+1+(an+1−an)a _{n+2} = 2 a _{n+1} + ( a _{n+1} - a _{n} ) ↔an+2=3an+1−an\leftrightarrow a _{n+2} = 3 a _{n+1} - a _{n} a1=3,a2=3a1−1=8,a3=3a2−a1=21a _{1} = 3 , a _{2} = 3 a _{1} - 1 = 8 , a _{3} = 3 a _{2} - a _{1} = 21, a4=3a3−a2=55a _{4} = 3 a _{3} - a _{2} = 55, a5=3a4−a3=144a _{5} = 3 a _{4} - a _{3} = 144

태그

#점화식#경로의 수

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