도형 등비급수

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기 그림 $R _{1}$에서

$S _{1}$은 정삼각형 $\mathrm{EGH}$의 넓이에서 삼각형 $\mathrm{EGA}$의 넓이를 뺀 값의 $2$배이므로 $\displaystyle S _{1} = 2 \times \left\{ \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \right\}$ $\displaystyle = 2 \times \left( 2 \sqrt{3} - 2 \right)$ $\displaystyle = 4 \left( \sqrt{3} - 1 \right)$

다음은 그림 $R _{n + 1}$의 일부이다.

정사각형 $L _{n}$의 한 변의 길이를 $l _{n}$이라 하면 정사각형 $L _{n + 1}$의 한 변의 길이 $\displaystyle l _{n + 1} = \frac{l _{n}}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} l _{n}$ 정사각형 $L _{n}$과 정사각형 $L _{n + 1}$은 서로 닮음이고 닮음비는 $\displaystyle l _{n} : l _{n + 1} = 1 : \frac{\sqrt{2}}{4}$ 그러므로 그림 $R _{n}$과 $R _{n + 1}$에서 새로 얻어진 모양의 도형도 서로 닮음이고 닮음비가 $\displaystyle 1 : \frac{\sqrt{2}}{4}$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1 : \frac{1}{8}$이다. 또 새로 얻어지는 모양의 도형의 개수가 $2$배씩 늘어나므로 $S _{n}$은 첫째항이 $\displaystyle 4 \left( {\sqrt{3}} - 1 \right)$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{8} \times 2 = \frac{1}{4}$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이다. $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{4 \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{16}{3} \left( \sqrt{3} - 1 \right)$