미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

도형 등비급수

문제

그림과 같이 AB1‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{AB} _{1}} = 1, B1C1‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}} = 2인 직사각형 AB1C1D1\mathrm{AB} _{1} C _{1} D _{1}이 있다. ∠AD1C1\mathrm{\angle} AD _{1} C _{1}을 삼등분하는 두 직선이 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}과 만나는 점 중 점 B1\mathrm{B} _{1}에 가까운 점을 E1\mathrm{E} _{1}, 점 C1\mathrm{C} _{1}에 가까운 점을 F1\mathrm{F} _{1}이라 하자. E1F1‾=\displaystyle {\overline{\mathrm{E} _{1} F _{1}}} =F1G1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{F} _{1} G _{1}}}, ∠E1F1G1\mathrm{\angle} E _{1} F _{1} G _{1}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2}이고 선분 AD1\mathrm{AD} _{1}과 선분 F1G1\mathrm{F} _{1} G _{1}이 만나도록 점 G1\mathrm{G} _{1}을 잡아 삼각형 E1F1G1\mathrm{E} _{1} F _{1} G _{1}을 그린다. 선분 E1D1\mathrm{E} _{1} D _{1}과 선분 F1G1\mathrm{F} _{1} G _{1}이 만나는 점을 H1\mathrm{H} _{1}이라 할 때, 두 삼각형 G1E1H1\mathrm{G} _{1} E _{1} H _{1}, H1F1D1\mathrm{H} _{1} F _{1} D _{1}로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 선분 AB1\mathrm{AB} _{1} 위의 점 B2\mathrm{B} _{2}, 선분 E1G1\mathrm{E} _{1} G _{1} 위의 점 C2\mathrm{C} _{2}, 선분 AD1\mathrm{AD} _{1} 위의 점 D2\mathrm{D} _{2}와 점 A\mathrm{A}를 꼭짓점으로 하고 AB2‾:B2‾C2\displaystyle \mathrm{\overline{AB _{2}}} : {\overline{B _{2}}} C _{2}=1:2= 1 : 2 인 직사각형 AB2C2D2\mathrm{AB} _{2} C _{2} D _{2}를 그린다. 직사각형 AB2C2D2\mathrm{AB} _{2} C _{2} D _{2}에 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [3점]

①239\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{9}②5318\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{18}③33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}④7318\displaystyle \frac{7 \sqrt{3}}{18}⑤439\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{9}

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③

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해설

[출제의도] 한없이 반복되는 도형에서 등비급수를 활용하여 넓이의 합에 대한 극한값을 구할 수 있는가? 직각삼각형 C1D1F1\mathrm{C} _{1} D _{1} F _{1}에서 ∠C1D1F1=π6\displaystyle \angle {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}} = \frac{\pi}{6}, C1D1‾=1\displaystyle \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}} = 1이므로 C1F1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}}}=C1D1‾×tan⁡π6\displaystyle = \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}} \times \tan \frac{\pi}{6}=1×33\displaystyle = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3}=33\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3} 직각삼각형 C1D1E1{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}에서 ∠C1D1E1=π3\displaystyle \angle {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}} = \frac{\pi}{3}이므로 C1E1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}}=C1D1‾×tan⁡π3\displaystyle = \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}}} \times \tan \frac{\pi}{3}=1×3\displaystyle = 1 \times \sqrt{3}=3\displaystyle = \sqrt{3} 이때, E1F1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{E}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}}}=C1E1‾−C1F1‾\displaystyle = \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}}} - \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}}}=3−33\displaystyle = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}=233\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{3} 직각삼각형 E1F1H1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{E}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{H}} \mathit{_{1}}}에서 ∠H1E1F1=π6\displaystyle \angle {\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{E}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}} = \frac{\pi}{6}이므로 F1H1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{H}} \mathit{_{1}}}=E1F1‾×tan⁡π6\displaystyle = \overline{{\mathrm{E}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}}} \times \tan \frac{\pi}{6}=233×33\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3}=23\displaystyle = \frac{2}{3} S1{\mathrm{S}} \mathit{_{1}} =△E1F1G1+△E1F1D1−2×△E1F1H1= \triangle {\mathrm{E}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{G}} \mathit{_{1}} + \triangle {\mathrm{E}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}} \mathit{_{1}} - 2 \times \triangle {\mathrm{E}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{H}} \mathit{_{1}} =12×E1F1‾×F1G1‾+12×E1F1‾×C1D1‾−2×(12×E1F1‾×F1H1‾)\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{E} \mathit{_{1}} \mathrm{F} \mathit{_{1}}}} \times {\overline{\mathrm{F} \mathit{_{1}} \mathrm{G} \mathit{_{1}}}} + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{E} \mathit{_{1}} \mathrm{F} \mathit{_{1}}}} \times {\overline{\mathrm{C} \mathit{_{1}} \mathrm{D} \mathit{_{1}}}} - 2 \times \left( \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{E} \mathit{_{1}} \mathrm{F} \mathit{_{1}}}} \times {\overline{\mathrm{F} \mathit{_{1}} \mathrm{H} \mathit{_{1}}}} \right) =12×233×233+12×233×1−2(12×233×23)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{2 \sqrt{3}}{3} \times \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{2 \sqrt{3}}{3} \times 1 - 2 \left( \frac{1}{2} \times \frac{2 \sqrt{3}}{3} \times \frac{2}{3} \right) =6−39\displaystyle = \frac{6 - \sqrt{3}}{9} 한편 AB2‾:B2C2‾=1:2\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{_{2}}} : \overline{{\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}} = 1 : 2이므로 AB2‾=k\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{_{2}}} = k, B2C2‾=2k\displaystyle \overline{{\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}} = 2 k (k>0)\left( k > 0 \right)이라 하자.

점 C2\mathrm{\mathrm{C}} \mathit{_{2}}에서 선분 B1C1{\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}에 내린 수선의 발을 I1{\mathrm{I}} \mathit{_{1}}이라 하면 E1I1‾=C2I1‾=1−k\displaystyle \overline{{\mathrm{E}} \mathit{_{1}} {\mathrm{I}} \mathit{_{1}}} = \overline{{\mathrm{C}} \mathit{_{2}} {\mathrm{I}} \mathit{_{1}}} = 1 - k, I1C1‾=2−2k\displaystyle \overline{{\mathrm{I}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}} = 2 - 2 k이므로 (1−k)+(2−2k)=3\displaystyle \left( 1 - k \right) + \left( 2 - 2 k \right) = \sqrt{3} k=3−33\displaystyle k = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} 그림 R1R _{1}에 색칠되어 있는 도형과 그림 R2R _{2}에 새로 색칠되어 있는 도형의 닮음비가 1:3−33\displaystyle 1 : \frac{3 - \sqrt{3}}{3}이므로 넓이의 비는 1:4−233\displaystyle 1 : \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3}이다. 따라서 구하는 극한값은 첫째항이 6−39\displaystyle \frac{6 - \sqrt{3}}{9}이고, 공비가 4−233\displaystyle \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3}인 등비급수의 합이므로 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}=6−391−4−233\displaystyle = \frac{\frac{6 - \sqrt{3}}{9}}{1 - \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3}}=33\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3}

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