도형 등비급수

[출제의도] 등비급수를 활용하여 추론하기

$\displaystyle {\overline{\mathrm{OB} _{1}}}$$\displaystyle = 4 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{D} _{1} B _{1}}}$$\displaystyle = \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{D} _{1}$에서 직선 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I} _{1}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{D} _{1} I _{1}}}$$= 1$ 두 삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} D _{1}$, $\mathrm{B} _{1} C _{1} D _{1}$의 넓이는 모두 $2$이므로 $S _{1}$$= 4$ 네 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}$, $\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{D} _{\mathit{n}} \mathrm{A} _{\mathit{n}}$으로 둘러싸인 모양의 도형의 넓이를 $T _{n}$이라 하자.

그림 $R _{n}$에서 중심이 $\mathrm{O}$이고 두 직선 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$에 동시에 접하는 원과 직선 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$이 접하는 점을 $\mathrm{H} _{\mathit{n}}$이라 하고, 점 $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$에서 두 직선 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{OA} _{\mathit{n}}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{I} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{J} _{\mathit{n}}$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{I} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} \mathrm{J} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = \frac{3}{4} {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} \mathrm{I} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = \frac{1}{4} {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{4} {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}}$ 삼각형 $\mathrm{OA} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}} \times {\overline{\mathrm{OH} _{\mathit{n}}}}$$=$$\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}} \times {\overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} J _{\mathit{n}}}}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{10}}{4} {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}} \times {\overline{\mathrm{OH} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}} \times \frac{3}{4} {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{10}}{10} {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} {\overline{\mathrm{OB} _{\mathit{n} + 1}}}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} {\overline{\mathrm{OH} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{5}}{10} {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}}$ 두 정사각형 $\mathrm{OA} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}$과 $\mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}$의 닮음비는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1}}}$$\displaystyle = 1 : \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ $T _{n} : T _{n + 1}$$\displaystyle = 1 : \frac{9}{20}$ $T _{n + 1}$$\displaystyle = \frac{9}{20} T _{n}$ 그러므로 수열 $\left\{ T _{n} \right\}$은 첫째항이 $T _{1}$$= S _{1}$$= 4$이고 공비가 $\displaystyle \frac{9}{20}$인 등비수열이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} T _{n}$$\displaystyle = \frac{4}{1 - \frac{9}{20}}$$\displaystyle = \frac{80}{11}$