도형 반복 급수

중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $3$인 원이 있다. 그림과 같이 $\displaystyle \angle AOB = \frac{\pi}{2}$인 원 위의 두 점을 $A$, $B$라 하고, 호 $AC$와 호 $BC$의 길이가 같은 점을 $C$라 하자. 선분 $OC$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $D$라 하고, 네 선분 $OA$, $AD$, $DB$, $BO$로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 두 반지름 $OA$, $OB$를 각각 지름으로 하는 두 반원을 그리고, 두 반원 안에 지름의 길이가 최대인 내접원을 각각 그린다. 두 내접원 안에 각각 그림 $R _{1}$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 그림 $R _{2}$에서 그린 두 내접원의 $4$개의 반지름을 각각 지름으로 하는 $4$개의 반원을 그리고, $4$개의 반원 안에 지름의 길이가 최대인 내접원을 각각 그린다. $4$개의 내접원 안에 각각 그림 $R _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 $4$개의 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 모든 모양의 도형의 넓이의 합을 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{11 \sqrt{2}}{7}$②$\displaystyle \frac{12 \sqrt{2}}{7}$③$\displaystyle \frac{13 \sqrt{2}}{7}$④$\displaystyle 2 \sqrt{2}$⑤$\displaystyle \frac{15 \sqrt{2}}{7}$