도함수를 포함한 항등식

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 두 상수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f \left( x \right) = x ^{2} + ax + b$라 하면 $f' \left( x \right) = 2 x + a$ 모든 실수 $x$에 대하여 $2 f \left( x \right) = \left( x + 1 \right) f' \left( x \right)$이므로 $2 \left( x ^{2} + ax + b \right)$$= \left( x + 1 \right) \left( 2 x + a \right)$ 등식 $2 x ^{2} + 2 ax + 2 b$$= 2 x ^{2} + \left( a + 2 \right) x + a$는 항등식이므로 $2 a = a + 2$, $2 b = a$에서 $a = 2$, $b = 1$ 따라서 $f \left( x \right)$$= x ^{2} + 2 x + 1$이므로 $f \left( 3 \right) = 16$