미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

도함수 조건 함수

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 f(x)>0,f′(x)=4xf(x)f ( x ) > 0 , f' ( x ) = 4 x f ( x ) 를 만족시킨다. f(1)=1f ( 1 ) = 1일 때, ln⁡f(2)\ln f ( 2 )의 값은? [3점] ①2②4③6④8⑤10

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③

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해설

[출제의도] 치환적분법을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 모든 실수 xx에 대하여 f(x)≠0f ( x ) \ne 0이므로 f′(x)=4xf(x)f' ( x ) = 4 x f ( x )에서 f′(x)f(x)=4x\displaystyle \frac{f' ( x )}{f ( x )} = 4 x가 성립한다. 양변을 xx에 관해 적분하면 ln⁡∣f(x)∣=2x2+C\ln \left| f ( x ) \right| = 2 x ^{2} + C (단, CC는 적분상수) f(1)=1f ( 1 ) = 1이므로 0=2+C0 = 2 + C에서 C=−2C = - 2 그러면 ln⁡∣f(x)∣=2x2−2\ln \left| f ( x ) \right| = 2 x ^{2} - 2이므로 ln⁡f(2)=8−2=6\ln f ( 2 ) = 8 - 2 = 6 이다.

태그

#치환적분#로그미분

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