미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

도함수 항등식으로 함수 결정

문제

함수 f(x)=ax2+bf ( x ) = ax ^{2} + b가 모든 실수 xx에 대하여 4f(x)={f′(x)}2+x2+44 f \left( x \right) = \left\{ f' \left( x \right) \right\} ^{2} + x ^{2} + 4 를 만족시킨다. f(2)f ( 2 )의 값은? (단, a,ba , b는 상수이다.) [4점]

①33②44③55④66⑤77

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①

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해설

f(x)=ax2+bf ( x ) = ax ^{2} + b , f′(x)=2axf' ( x ) = 2 ax 를 주어진 식에 대입하면 4(ax2+b)=(2ax)2+x2+44 ( ax ^{2} + b ) = ( 2 ax ) ^{2} + x ^{2} + 4 좌변과 우변을 각각 정리하면 4ax2+4b=(4a2+1)x2+44 ax ^{2} + 4 b = ( 4 a ^{2} + 1 ) x ^{2} + 4 이므로 4a=4a2+14 a = 4 a ^{2} + 1, 4b=44 b = 4 이다. 4a2−4a+1=04 a ^{2} - 4 a + 1 = 0 (2a−1)2=0( 2 a - 1 ) ^{2} = 0 이므로 a=12,b=1\displaystyle a = \frac{1}{2} , b = 1 f(x)=12x2+1\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{2} + 1 이므로 f(2)=3f ( 2 ) = 3

태그

#항등식#도함수

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