미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

도함수 그래프 보기

문제

그림과 같이 두 삼차함수 f(x)f ( x ), g(x)g ( x )의 도함수 y=f′(x)y = f' ( x ), y=g′(x)y = g' ( x )의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 xx좌표는 aa, bb(0<a<b0 < a < b)이다. 함수 h(x)h ( x )를 h(x)=f(x)−g(x)h ( x ) = f ( x ) - g ( x ) 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ((단, f′(0)=7f' ( 0 ) = 7, g′(0)=2g' ( 0 ) = 2)) [4점]

y=f′(x)y = f' ( x ) y=g′(x)y = g' ( x )

<보 기>
ㄱ. 함수 h(x)h ( x )는 x=ax = a에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. h(b)=0h ( b ) = 0이면 방정식 h(x)=0h ( x ) = 0의 서로 다른 실근의 개수는 22이다. ㄷ. 0<α<β<b0 < \alpha < \beta < b인 두 실수 α\alpha, β\beta에 대하여 h(β)−h(α)<5(β−α)h ( \beta ) - h ( \alpha ) < 5 ( \beta - \alpha )이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 함수 y=h′(x)y = h' ( x )의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. 함수 h(x)h ( x )는 x=ax = a에서 극댓값을 갖는다. (참) ㄴ. h(b)=0h ( b ) = 0일 때, 함수 y=h(x)y = h ( x )의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 방정식 h(x)=0h ( x ) = 0의 서로 다른 실근의 개수는 22이다. (참) ㄷ. 함수 h(x)h ( x )는 닫힌 구간 [α,β][ \alpha , \beta ]에서 연속이고 열린 구간 (α,β)\left( \alpha , \beta \right)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 h(β)−h(α)β−α=h′(γ)\displaystyle \frac{h ( \beta ) - h ( \alpha )}{\beta - \alpha} = h' ( \gamma )를 만족시키는 γ\gamma가 열린 구간 (α,β)\left( \alpha , \beta \right)에 존재한다. 열린 구간 (0,b)( 0 , b )에 있는 모든 실수 xx에 대하여 h′(x)<5h' ( x ) < 5 이므로 h(β)−h(α)β−α=h′(γ)<5\displaystyle \frac{h ( \beta ) - h ( \alpha )}{\beta - \alpha} = h' ( \gamma ) < 5 h(β)−h(α)<5(β−α)h ( \beta ) - h ( \alpha ) < 5 ( \beta - \alpha ) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

태그

#도함수의 그래프#극값#평균값 정리#보기 판단

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