미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

그림과 같이 함수 $f ( x )$ 의 도함수 $f' ( x )$ 의 그래프가 $y$ 축에 대하여 대칭이고 $x > 0$ 일 때 위로 볼록하다.

함수 $f ( x )$ 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, $f' ( - 1 ) = f' ( 0 ) = f' ( 1 ) = 0$ ) [4점]

		< 보 기 >

	ㄱ. 함수 $f ( x )$ 는 $x = 0$ 에서 극값을 갖는다. ㄴ. $f ( 0 ) = 0$ 이면 함수 $f ( x )$ 의 극댓값과 극솟값의 합은 $0$ 이다. ㄷ. $f ( 1 ) < 0$ 이면 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 오직 하나의 실근을 갖는다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 주어진 조건에 맞는 함수의 성질을 추론한다. 함수 $f ( x )$ 의 증감표는 다음과 같다.

$x$	$\cdots$	$- 1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f' ( x )$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f ( x )$	$\searrow$		$\nearrow$		$\nearrow$		$\searrow$

ㄱ. $f ( x )$ 는 $x = 0$ 에서 극값을 갖지 않는다. (거짓) ㄴ. $f ( 0 ) = 0$ 이면 도함수 $f' ( x )$ 는 $y$ 축에 대하여 대칭이므로 함수 $f ( x )$ 는 원점 대칭이다. 따라서 극댓 값 $f ( 1 )$ , 극솟값 $f ( - 1 )$ 에 대하여 $f ( 1 ) = - f ( - 1 )$ 이므로 $f ( 1 ) + f ( - 1 ) = 0$ 이다. (참) ㄷ. 극댓값 $f ( 1 )$ 이 $0$ 보다 작으므로 방정식 $f ( x ) = 0$ 은 $x < - 1$ 인 오직 하나의 실근을 갖는다. (참)

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