미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

삼차함수 $f ( x )$ 의 도함수의 그래프와 이차함수 $g ( x )$ 의 도함수의 그래프가 그림과 같다. 함수 $h ( x )$ 를 $h ( x ) = f ( x ) - g ( x )$ 라 하자. $f ( 0 ) = g ( 0 )$ 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

[보 기] ㄱ. $0 < x < 2$ 에서 $h ( x )$ 는 감소한다. ㄴ. $h ( x )$ 는 $x = 2$ 에서 극솟값을 갖는다. ㄷ. 방정식 $h ( x ) = 0$ 은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

$h ( x ) = f ( x ) - g ( x )$ (삼차함수)라 놓으면 $h' ( x ) = f' ( x ) - g' ( x )$ 이므로

$x$	…	0	…	2	…
$h' ( x )$	+	0	-	0	+

위 증감표에서 구간 $( 0 , 2 )$ 에서 $y = h ( x )$ 는 감소한다. 또한 $x = 0$ 에서 극댓값, $x = 2$ 에서 극솟값을 갖는다. 따라서 다음과 같은 그래프가 된다.

$\text{ㄱ} .$ $0 \prec x \prec 2$ 에서 감소 (참) $\text{ㄴ} .$ $h ( x )$ 는 $x = 2$ 에서 극솟값을 갖는다.(참) $\text{ㄷ} .$ $h ( x ) = 0$ 은 서로 다른 두 실근(거짓)

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