미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

그림은 삼차함수 $y = f ( x )$ 와 사차함수 $y = g ( x )$ 의 도함수 $y = f' ( x )$ 와 $y = g' ( x )$ 의 그래프이다. 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, $f' ( 0 ) = 0 , g' ( 0 ) = 0$ ) [4점]

		< 보 기 >

	ㄱ. $x < 0$ 에서 $y = f ( x ) - g ( x )$ 는 증가함수이다. ㄴ. $y = f ( x ) - g ( x )$ 는 한 개의 극솟값을 갖는다. ㄷ. $h ( x ) = f' ( x ) - g' ( x )$ 라 할 때, $h' ( x ) = 0$ 은 서로 다른 $2$ 개의 양의 실근을 갖는다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 도함수의 성질 이해하기 ㄱ. $x < 0$ 에서 $f' ( x ) > g' ( x )$ $y = f' ( x ) - g' ( x )$ $> 0$ 이므로 $y = f ( x ) - g ( x )$ 는 증가한다. $\therefore$ 참 ㄴ. $f' ( x ) = g' ( x )$ 의 세 근을 $0 , a , b$ $( 0 < a < b )$ 라 하고 $y = f ( x ) - g ( x )$ 의 증감표를 완성하면

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$b$	$\cdots$
$f' ( x ) - g' ( x )$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f ( x ) - g ( x )$	$\nearrow$	극대	$\searrow$	극소	$\nearrow$	극대	$\searrow$

따라서 $y = f ( x ) - g ( x )$ 는 극솟값 $1$ 개이다. $\therefore$ 참 ㄷ. ㄴ 의 증감표를 이용하여 $y = h ( x )$ 의 개형을 그려보면

이고 $y = h' ( x )$ 의 개형은

이므로 $h' ( x ) = 0$ 은 서로 다른 $2$ 개의 향의 실근을 갖는다. $\therefore$ 참

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