미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

도함수 범위와 정적분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 xx에 대하여 1≤f′(x)≤31 \leq f' ( x ) \leq 3이다. (나) 모든 정수 nn에 대하여 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프는 점 (4n,8n)( 4 n , 8 n ), 점 (4n+1,8n+2)( 4 n + 1 , 8 n + 2 ), 점 (4n+2,8n+5),( 4 n + 2 , 8 n + 5 ) , 점 (4n+3,8n+7)( 4 n + 3 , 8 n + 7 )을 모두 지난다. (다) 모든 정수 kk에 대하여 닫힌구간 [2k,2k+1][ 2 k , 2 k + 1 ]에서 함수 f(x)f ( x )의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.

∫36f(x)dx=a\displaystyle \int _{3} ^{6} {f ( x ) dx = a}라 할 때, 6a6 a의 값을 구하시오. [4점]

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167

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해설

함수 f(x)f ( x )가 (3,7),(4,8),(5,10),(6,13)( 3 , 7 ) , ( 4 , 8 ) , ( 5 , 10 ) , ( 6 , 13 )을 지나고 1≤f′(x)≤31 \leq f' ( x ) \leq 3이므로 ⑴ 두 점 (3,7)( 3 , 7 ), (4,8)( 4 , 8 )의 기울기가 11이므로 3≤x≤43 \leq x \leq 4에서 f(x)=x+4f ( x ) = x + 4 ⑵ 두 점 (5,10),(6,13)( 5 , 10 ) , ( 6 , 13 )의 기울기가 33이므로 5≤x≤65 \leq x \leq 6에서 f(x)=3x−5f ( x ) = 3 x - 5 ⑶ 주어진 조건에 의해 (4,8)( 4 , 8 )과 (5,10)( 5 , 10 )을 지나는 함수는 이차함수이고 f(x)=ax2+bx+cf ( x ) = ax ^{2} + bx + c f′(x)=2ax+bf' ( x ) = 2 ax + b 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 f′(4)=8a+b=1f' ( 4 ) = 8 a + b = 1 f′(5)=−10a+b=3f' ( 5 ) = - 10 a + b = 3 a=1,b=−7a = 1 , b = - 7 f(4)=8f ( 4 ) = 8에서 c=20c = 20 ⑴, ⑵, ⑶에 의해 ∫36f(x)dx\displaystyle \int _{3} ^{6} {f ( x ) dx} ==∫34(x+4)dx+∫45(x2−7x+20)dx+∫56(3x−5)dx\displaystyle \int _{3} ^{4} ( x + 4 ) dx + \int _{4} ^{5} ( x ^{2} - 7 x + 20 ) d x + \int _{5} ^{6} ( 3 x - 5 ) d x =1676\displaystyle = \frac{167}{6} ∴ 6a=1676 a = 167

태그

#구간별 이차함수#정적분

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