등차수열의 합의 최솟값

[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 추론하기 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하면 조건 (가)에 의하여 $a _{8} = S _{8} - S _{7} = 0$이므로 $a _{8} = a _{1} + 7 d = 0$에서 $a _{1} = \mathit{-} 7 d$ $S _{n}$의 값은 $n = 8$에서 최소이므로 $S _{9} \geq S _{8}$ $a _{9} = a _{8} + d = d \geq 0$ $d = 0$이면 $a _{1} = 0$에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $S _{n} = 0$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $d > 0$ $n \geq 9$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > 0$이므로 $m > 8$일 때 $S _{2 m} > S _{m}$ 조건 (나)에 의하여 $- S _{m} = S _{2 m} = 162$ $\displaystyle - \frac{m \left\{ 2 a _{1} + \left( m - 1 \right) d \right\}}{2} = \frac{2 m \left\{ 2 a _{1} + \left( 2 m - 1 \right) d \right\}}{2}$ $14 d - \left( m - 1 \right) d = \mathit{-} 28 d + 2 \left( 2 m - 1 \right) d$ $- m + 15 = 4 m - 30$에서 $m = 9$ $\displaystyle S _{9} = \frac{9 \left( - 14 d + 8 d \right)}{2} = \mathit{-} 162$에서 $d = 6$, $a _{1} = \mathit{-} 42$ 따라서 $a _{13} = a _{1} + 12 d = \mathit{-} 42 + 12 \times 6 = 30$