등차수열의 합 조건

$a _{k} + a _{k + 1} + a _{k + 2} = 3 a _{k + 1} = 21$에서 $a _{k + 1} = 7$ 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$ ($d$는 자연수)라 하자. $a _{1} = a _{k + 1} - d k = 7 - d k$, $a _{k + 4} = a _{k + 1} + 3 d = 7 + 3 d$이므로 $S _{k + 4}$$\displaystyle = \frac{\left( k + 4 \right) \left( a _{1} + a _{k + 4} \right)}{2}$$\displaystyle = \frac{\left( k + 4 \right) \left\{ 14 + \left( 3 - k \right) d \right\}}{2} = 11$ 에서 $\left( k + 4 \right) \left\{ 14 + \left( 3 - k \right) d \right\} = 22$ $k + 4$는 $\mathrm{4}$보다 큰 자연수이므로 $k + 4 = 11$ 또는 $k + 4 = 22$ 즉, $k = 7$ 또는 $k = 18$ $k = 7$일 때, $14 + \left( 3 - 7 \right) d = 2$에서 $d = 3$ $k = 18$일 때, $14 + \left( 3 - 18 \right) d = 1$에서 $\displaystyle d = \frac{13}{15}$ $d$는 자연수이므로 $d = 3$, $k = 7$ 따라서 $a _{k + 6} = a _{k + 1} + 5 d = 7 + 5 \times 3 = 22$