등차수열의 합

$n$째 항까지의 합을 $S _{n}$이라 하면 $\displaystyle S _{n} = \frac{n \left\{ 2 m + ( n - 1 ) \cdot 1 \right\}}{2}$$= 50$$= 2 \cdot 5 ^{2}$ $\therefore n ( 2 m + n - 1 ) = 2 ^{2} \cdot 5 ^{2}$ $n$은 자연수이므로 $2 ^{2} \cdot 5 ^{2}$의 약수이고, $m \leq 10$이므로 $2 m + n - 1 \leq 20 \cdots \cdots \text{①}$ ①을 만족하는 자연수 $n$은 $n = 5$ 그러므로 $2 m + n - 1 = 20$에서 $m = 8$ $\therefore m + n = 13$