등차수열의 공차의 합의 나머지

$\displaystyle \sum\limits _{k=n} ^{2n} a _{k} = 0$이므로 $a _{n} + a _{2 n} = 0$이다. 따라서 $4032 = ( 3 n - 2 ) d$이다. $4032 = 2 ^{7} \times 3 ^{2} \times 7$ 에서 $( 3 n - 2 )$는 $1 , 2 ^{2} , 2 ^{4} , 2 ^{6}$ 과 $7$ 그리고 그들의 곱으로 만들어지므로 $( 3 n - 2 , d )$의 가능한 순서쌍은 $( 1 , 4032 ) ,$$( 4 , 1008 ) ,$$( 7 , 576 ) ,$$( 16 , 252 ) ,$$( 28 , 144 ) ,$$( 64 , 63 ) ,$$( 112 , 36 ) ,$$( 448 , 9 )$ 이고, 이때 모든 $d$의 합은 6120 $\therefore$ 6120을 1000으로 나눈 나머지 = 120