대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등차수열과 삼각함수가 결합된 수열의 합

문제

첫째항과 공차가 정수인 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 bn=n2sin⁡(πan)+ncos⁡(πan)+1b _{n} = n ^{2} \sin \left( \pi a _{n} \right) + n \cos \left( \pi a _{n} \right) + 1 ∑n=17bn=3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} b _{n} = 3 을 만족시킬 때, b48+b49+b50b _{48} + b _{49} + b _{50}의 값은? [4점] ①48\mathrm{48}②50\mathrm{50}③52\mathrm{52}④54\mathrm{54}⑤56\mathrm{56}

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③

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해설

첫째항과 공차가 정수인 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 모든 항이 정수이므로 sin⁡(πan)=0\sin \left( \pi a _{n} \right) = 0이고 cos⁡(πan)\cos \left( \pi a _{n} \right)은 ana _{n}이 홀수일 때 −1- 1, 짝수일 때 11이므로 bn={−n+1(n이홀수)n+1(n이짝수)\displaystyle b _{n} = \begin{cases} - n + 1 & & \left( n \text{이} \text{홀수} \right) \\ n + 1 & & \left( n \text{이} \text{짝수} \right) \end{cases} 이때 ∑n=17bn=3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} b _{n} = 3이므로 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항과 공차가 모두 홀수일 때 ∑n=17bn=0+3−2+5−4+7−6=3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} b _{n} = 0 + 3 - 2 + 5 - 4 + 7 - 6 = 3 을 만족한다. b48b _{48}, b50b _{50}은 짝수, b49b _{49}는 홀수이므로 b48+b49+b50=49−48+51=52b _{48} + b _{49} + b _{50} = 49 - 48 + 51 = 52

태그

#등차수열#삼각함수의 값#시그마

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