등차수열과 이차함수

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 등차수열일 필요충분조건은 $a _{n}$이 $n$에 대한 일차 이하의 다항식이다. 따라서 등차수열 $\left\{ x _{n} \right\}$의 일반항은 $x _{n} = pn + q$ ($p , q$는 실수)로 놓을 수 있다. ㄱ. $f' ( x ) = 2 ax + b$이므로 $f' ( x _{n} ) = 2 ax _{n} + b$$= 2 apn + 2 aq + b$ 이때, $2 ap$와 $2 aq + b$는 실수이므로 $f' ( x _{n} )$은 $n$에 대한 일차 이하의 다항식이다. 따라서 수열 $\left\{ f' ( x _{n} ) \right\}$은 등차수열이다. (참) ㄴ.$f ( x _{n+1} ) - f ( x _{n} )$ $= ( ax _{n+1} ^{2} + bx _{n+1} + c ) - ( ax _{n} ^{2} + bx _{n} + c )$ $= a \left\{ p ( n + 1 ) + q ) ^{2} \right\} + b \left\{ p ( n + 1 ) + q \right\}$ $+ c - a ( pn + q ) ^{2} - b ( pn + q ) - c$ $=$($n$에 대한 일차 이하의 다항식) 따라서 수열 $\left\{ f ( x _{n+1} ) - f ( x _{n} ) \right\}$은 등차수열이다. (참) ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 수열 $\left\{ x _{n} \right\}$이 등차수열일 때 수열 $\left\{ f ( x _{n+1} ) - f ( x _{n} ) \right\}$이 등차수열이다. 이 때, 네 실수 $0 , 2 , 4 , 6$은 이 순서대로 등차수열을 이루므로 세 실수 $f ( 2 ) - f ( 0 ) , f ( 4 ) - f ( 2 ) , f ( 6 ) - f ( 4 )$도 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 따라서 $f ( 6 ) = \alpha$라 하면 $5 - 3 , 9 - 5 , \alpha - 9$ 즉, $2 , 4 , \alpha - 9$는 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $2 \cdot 4 = 2 + ( \alpha - 9 )$에서 $\alpha = 15$ ∴ $f ( 6 ) = 15$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.