미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등차수열과 합의 극한

문제

첫째항이 11인 두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 an+1−an=3a _{n+1} - a _{n} = 3, ∑k=1n1bk=n2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} {\frac{1}{b _{k}} = n ^{2}} 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞anbn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {{a _{n}} {b _{n}}}의 값은? [3점] ①76\displaystyle \frac{7}{6}②43\displaystyle \frac{4}{3}③32\displaystyle \frac{3}{2}④53\displaystyle \frac{5}{3}⑤116\displaystyle \frac{11}{6}

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③

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해설

[출제의도] 수열의 합과 극한에 대한 성질을 이해하여 수열의 극한값을 구한다. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1a _{1}=1= 1이고 공차가 33인 등차수열이므로 ana _{n}=1+(n−1)×3= 1 + \left( n - 1 \right) \times 3=3n−2= 3 n - 2 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 n≥2n \geq 2일 때, 1bn\displaystyle \frac{1}{b _{n}}=∑k=1n1bk−∑k=1n−11bk\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{b _{k}} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{b _{k}}=n2−(n−1)2= n ^{2} - \left( n - 1 \right) ^{2}=2n−1= 2 n - 1 에서 bnb _{n}=12n−1\displaystyle = \frac{1}{2 n - 1}이고 b1b _{1}=1= 1이므로 모든 자연수 nn에 대하여 bnb _{n}=12n−1\displaystyle = \frac{1}{2 n - 1} 따라서 lim⁡n→∞anbn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} b _{n}}=lim⁡n→∞3n−22n−1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 n - 2}{2 n - 1}}=lim⁡n→∞3−2n2−1n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 - \frac{2}{n}}{2 - \frac{1}{n}}}=32\displaystyle = \frac{3}{2}

태그

#수열의 극한#등차수열#수열의 합

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