대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등차수열과 곱의 합

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 a1=1a _{1} = 1, a2=3a _{2} = 3, an+1=an+an+22\displaystyle a _{n + 1} = \frac{a _{n} + a _{n + 2}}{2} ∑k=1nakbk=(4n2−1)2n+1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} b _{k} = ( 4 n ^{2} - 1 ) 2 ^{n} + 1 을 만족시킬 때, b6b _{6}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

a1=1,a2=3a _{1} = 1 , a _{2} = 3이고 an+1=an+an+22\displaystyle a _{n+1} = \frac{a _{n} + a _{n+2}}{2}이므로 ana _{n}은 초항이 2고 공차가 a2−a1=2a _{2} - a _{1} = 2인 등차수열이다. ∴an=2n−1\therefore a _{n} = 2 n - 1 Sn=∑k=1nakbk\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k} b _{k}라 두면 a6b6=S6−S5=143⋅26+1−(99⋅25+1)=25⋅(286−99)=25⋅187\begin{aligned} a _{6} b _{6} = S _{6} - S _{5} = 143 \cdot 2 ^{6} + 1 - \left( 99 \cdot 2 ^{5} + 1 \right) \\ = 2 ^{5} \cdot ( 286 - 99 ) \\ = 2 ^{5} \cdot 187 \end{aligned} a6=11a _{6} = 11이므로 b6=32⋅18711=32⋅17=544\displaystyle b _{6} = \frac{32 \cdot 187}{11} = 32 \cdot 17 = 544 cf) anbn=Sn−Sn−1={(4n2−1)⋅2n+1}−{(4(n−1)2−1)⋅2n−1+1}=(4n2+8n−5)2n−1=(2n−1)(2n+5)2n−1\begin{aligned} a _{n} b _{n} = S _{n} - S _{n-1} \\ = \left\{ \left( 4 n ^{2} - 1 \right) \cdot 2 ^{n} + 1 \right\} - \left\{ \left( 4 ( n - 1 ) ^{2} - 1 \right) \cdot 2 ^{n-1} + 1 \right\} \\ = ( 4 n ^{2} + 8 n - 5 ) 2 ^{n-1} \\ = ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 5 ) 2 ^{n-1} \end{aligned} ∴bn=(2n+5)2n−1\therefore b _{n} = ( 2 n + 5 ) 2 ^{n-1}

태그

#등차수열#합과 일반항

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