등차수열과 등비 조건

[출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 활용하여 문제해결하기 $a _{1}$$= a$라 하면 조건 (나)에 의하여 $\left\{ a + \left( k - 1 \right) d \right\} ^{2}$$= \left( a + d \right) \left\{ a + \left( 3 k - 2 \right) d \right\}$ $d \left\{ k ^{2} - 5 k + 3 \right\}$$= a \left( k + 1 \right)$ $\cdots \cdots$ ㉠ 모든 항이 자연수이므로 조건 (가)에서 $0 < a \leq d$ $a \left( k + 1 \right) \leq d \left( k + 1 \right)$ $k ^{2} - 5 k + 3 \leq k + 1$ $k ^{2} - 6 k + 2 \leq 0$ $\displaystyle 3 - \sqrt{7} \leq k \leq 3 + \sqrt{7}$ $k \geq 3$이므로 자연수 $k$$= 3 , 4 , 5$ ㉠에서 $k ^{2} - 5 k + 3 > 0$이므로 $k = 5$, $d = 2 a$ $90 \leq a _{16} \leq 10$, $a _{16}$$= a + 15 d$$= 31 a$ 이므로 $a = 3$, $d = 6$ 따라서 $a _{20}$$= a + 19 d$$=$$117$