대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

등차수열 순서쌍의 개수

문제

다음은 2121 이하의 서로 다른 44개의 자연수 aa, bb, cc, dd (a<b<c<d)\left( a < b < c < d \right)에 대하여 2b=a+d2 b = a + d를 만족시키는 모든 순서쌍 (a,b,c,d)\left( a , b , c , d \right)의 개수를 구하는 과정이다.

세 자연수 aa, bb, dd는 2b=a+d2 b = a + d를 만족시키므로 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 이 등차수열의 공차가 될 수 있는 가장 작은 값은 22, 가장 큰 값은 □(가)\left. {\square {( \text{가} ) _{} ^{}}} \right.이다. 이 등차수열의 공차를 kk(2≤k≤□(가))\left( 2 \leq k \leq \left. {\square {( \text{가} ) _{} ^{}}} \right. \right)라 하면 a<a+k<c<a+2ka < a + k < c < a + 2 k이므로 cc가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 k−1k - 1이고 aa가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 □(나)\left. {\square {( \text{나} ) _{} ^{}}} \right.이다. 따라서 구하는 모든 순서쌍 (a,b,c,d)\left( a , b , c , d \right)의 개수는 ∑k=2□(가){(k−1)×(□(나))}=□(다)\displaystyle \sum\limits _{k = 2} ^{{} _{} {\square {( \text{가} ) _{} ^{}}} _{}} \left\{ \left( k - 1 \right) \times \left( {\square {( \text{나} ) _{} ^{}}} \right) \right\} = {\square {( \text{다} ) _{} ^{}}}

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 pp, qq라 하고, (나)에 알맞은 식을 f(k)f \left( k \right)라 할 때, p+q+f(3)p + q + f \left( 3 \right)의 값은? [4점] ①304304②307307③310310④313313⑤316316

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③

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해설

[출제의도] 수열을 이용하여 추론하기 세 자연수 aa, bb, dd는 2b=a+d2 b = a + d를 만족시키므로 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 이 등차수열의 공차가 될 수 있는 가장 작은 값은 22, 가장 큰 값은 □10\left. {\square {10 _{} ^{}}} \right.이다. 이 등차수열의 공차를 kk(2≤k≤□10)\left( 2 \leq k \leq \left. {\square {10 _{} ^{}}} \right. \right)이라 하면 1≤a<a+k<c<a+2k≤211 \leq a < a + k < c < a + 2 k \leq 21이므로 cc가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 k−1k - 1이고 aa가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 □21−2k\left. {\square {21 - 2 k _{} ^{}}} \right.이다. 따라서 구하는 모든 순서쌍 (a,b,c,d)\left( a , b , c , d \right)의 개수는 ∑k=2□10{(k−1)×(□21−2k)}\displaystyle \sum\limits _{k = 2} ^{{} _{} {\square {10 _{} ^{}}} _{}} \left\{ \left( \left. k - 1 \right. \right) \times \left( \left. {\square {21 - 2 k _{} ^{}}} \right. \right) \right\} =∑k=210(−2k2+23k−21)\displaystyle = \sum\limits _{k = 2} ^{10} \left( - 2 k ^{2} + 23 k - 21 \right) =∑k=110(−2k2+23k−21)−(−2×12+23×1−21)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( - 2 k ^{2} + 23 k - 21 \right) - \left( - 2 \times 1 ^{2} + 23 \times 1 - 21 \right) =−2×10×11×216+23×10×112−21×10\displaystyle = \mathit{-} 2 \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + 23 \times \frac{10 \times 11}{2} - 21 \times 10 =□285= \left. {\square {{}_{} ^{} 285 _{} ^{}}} \right. 따라서 p=10p = 10, f(k)=21−2kf \left( k \right) = 21 - 2 k, q=285q = 285이므로 p+q+f(3)p + q + f \left( 3 \right)=10+285+15=310= 10 + 285 + 15 = 310

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