등차수열 순서쌍 개수

등차수열의 성질에 의해 $a _{1} + a _{n} = a _{2} + a _{n-1} = \cdots$ 를 만족하고, 조건 (나)에서 $a _{l} + a _{m} = 1$을 만족하는 $l$, $m$의 순서쌍 $\left( l , m \right)$의 개수가 $6$이므로 $a _{1} + a _{n} = a _{2} + a _{n-1} = \cdots = a _{6} + a _{n-5}$ 에서 $n - 5 = 7$ 또는 $n - 5 = 8$ $n - 5 = 7$일 때는 조건 (가)와 모순이므로 $n - 5 = 8$이다. $\therefore$$a _{1} + a _{13} = a _{6} + a _{8} = 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (가)에서 $\displaystyle a _{6} + a _{7} = \mathit{-} \frac{1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하면 ㉠$-$㉡에서 $\displaystyle d = \frac{3}{2}$ $\therefore$$2 S$$\displaystyle = 2 \times \frac{{14} \left( a _{1} + a _{14} \right)}{2}$ $= 14 \left( a _{1} + a _{13} + d \right)$ $\displaystyle = 14 \left( 1 + \frac{3}{2} \right)$ $= 35$