등차수열 속 등비수열

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라고 하면 $a _{2} = a _{1} + d$ $a _{4} = a _{1} + 3 d$ $a _{9} = a _{1} + 8 d$ 이때 세 항 $a _{2} , a _{4} , a _{9}$는 등비수열을 이루므로 등비중항에 의해 $\left( a _{1} + 3 d \right) ^{2} = \left( a _{1} + d \right) \left( a _{1} + 8 d \right)$ $a _{1} ^{2} + 6 a _{1} d + 9 d ^{2} = a _{1} ^{2} + 9 a _{1} d + 8 d ^{2}$ $d \left( 3 a _{1} - d \right) = 0$ $\therefore d = 3 a _{1} \left( \because d \ne 0 \right)$ 즉, $a _{2} = 4 a _{1} ,$ $a _{4} = 10 a _{1}$ 이므로 $\displaystyle r = \frac{10 a _{1}}{4 a _{1}} = \frac{5}{2}$ $\therefore 6 r = 15$