등차수열 성분 삼차행렬

[출제의도] 등차수열의 수학 내적 문제해결하기 제$i$행의 세 성분 $a _{i 1}$, $a _{i 2}$, $a _{i 3}$이 이 순서로 등차수열을 이루므로 $2 a _{i 2} = a _{i 1} + a _{i 3}$이고 모든 성분의 합이 $36$이므로 $a _{12} + a _{22} + a _{32} = 12$ $a _{12}$, $a _{22}$, $a _{32}$가 이 순서로 등차수열을 이루므로 $2 a _{22} = a _{12} + a _{32}$$\cdots$$\cdots$㉠ $\therefore a _{22} = 4$$\cdots$$\cdots$㉡ $a _{31} = a - d$, $a _{32} = a$, $a _{33} = a + d$ (단, $a$, $d$는 정수)라 하면 $a _{31} ^{2} + a _{32} ^{2} + a _{33} ^{2} = 18$에서 $3 a ^{2} + 2 d ^{2} = 18$, $2 d ^{2} = 3 ( 6 - a ^{2} )$ $2 d ^{2}$은 $18$보다 작은 $3$의 배수이므로 $d ^{2} = 9$ $\therefore a _{32} = a = 0$$\cdots$$\cdots$㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의해 $a _{12} = 8$ $\therefore$$a _{12} ^{2} = 64$