등차수열 조건

[출제의도] 등차수열의 일반항을 이용하여 첫째항을 구한다. 첫째항이 $a$이고 공차가 $- 2$인 등차수열에서 $a _{2} = a - 2$, $a _{3} = a - 4$, $a _{4} = a - 6$이므로 주어진 식은 $\left( a - 2 + a - 6 \right) ^{2} = 16 ( a - 4 )$ $\left( 2 a - 8 \right) ^{2} = 16 ( a - 4 )$ $a ^{2} - 12 a + 32 = 0$ $\left( a - 4 \right) \left( a - 8 \right) = 0$ $a = 4$ 또는 $a = 8$ $a = 4$일 때 $a _{3} = 4 + 2 \times \left( - 2 \right) = 0$이고 $a = 8$일 때 $a _{3} = 8 + 2 \times \left( - 2 \right) = 4$ $a _{3} \ne 0$이므로 $a _{3} = 4$ 따라서 $a$의 값은 $8$이다. [다른 풀이] $a _{\mathrm{2}} + a _{4} = 2 a _{3}$이므로 주어진 식은 $4 a _{3} ^{2} = 16 a _{3}$ $a _{3} ^{2} - 4 a _{3} = 0$ $a _{3} \left( a _{3} - 4 \right) = 0$ $a _{3} \ne 0$이므로 $a _{3} = 4$ $a _{3} = a + 2 \times \left( - 2 \right) = 4$ 따라서 $a$의 값은 $8$이다.