등차수열 조건

[출제의도] 조건을 만족시키는 등차 수열의 첫째항과 공차를 구할 수 있는가? 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하자. $\displaystyle \frac{a _{5} + a _{13}}{2} = a _{9}$이므로 $a _{9} = 0$에서 $a + 8 d = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 또, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{18} a _{k} = \frac{18}{2} \times \left( a _{1} + a _{18} \right)$ $= 9 \left( 2 a + 17 d \right)$ 이므로 $\displaystyle 9 ( 2 a + 17 d ) = \frac{9}{2}$에서 $\displaystyle 2 a + 17 d = \frac{1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 $a = - 4$, $\displaystyle d = \frac{1}{2}$이므로 $a _{13} = a + 12 d$ $\displaystyle = - 4 + 12 \times \frac{1}{2} = 2$