대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등차수열 지수 곱

문제

두 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ , $\left\{ b _{n} \right\}$ 이 모든 자연수 $k$ 에 대하여 $\displaystyle b _{2k-1} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{a _{1} + a _{3} + \cdots + a _{2k-1}}$ $b _{2k} = 2 ^{a _{2} + a _{4} + \cdots + a _{2k}}$ 을 만족시킨다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 등차수열이고, $b _{1} \times b _{2} \times b _{3} \times$ … $\times b _{10} = 8$ 일 때, 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 공차는? [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{15}$ ② $\displaystyle \frac{2}{15}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{5}$ ④ $\displaystyle \frac{4}{15}$ ⑤ $\displaystyle \frac{1}{3}$

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③

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해설

$b _{2k-1} = 2 ^{- ( a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{2k-1} )}$ $b _{2k} = 2 ^{a _{2} + a _{4} + \cdots + a _{2k}}$ $a _{n}$ 의 공차를 $d$ 라 하면 $b _{1} \times b _{2} = 2 ^{- a _{1} + a _{2}} = 2 ^{d}$ $b _{3} \times b _{4} = 2 ^{- a _{1} - a _{3} + a _{2} + a _{4}} = 2 ^{2d}$ ⦙ $b _{9} \times b _{10} = 2 ^{5d}$ $\therefore b _{1} \times b _{2} \times b _{3} \times \cdots \times b _{10} = 2 ^{d + 2 d + \cdots 5 d}$ $= 2 ^{15d} = 8$ $15 d = 3$ 이므로 $\displaystyle d = \frac{1}{5}$

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