등차수열 절댓값 조건

조건 (나)에서 $b _{3} + b _{5} \neq 2 b _{4}$이므로 세 수 $b _{3}$, $b _{4}$, $b _{5}$는 이 순서대로 등차수열을 이루지 않는다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하자. $d \geq 0$이면 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > 0$이 되어 $b _{n} = a _{n}$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. 그러므로 $d < 0$이며 $a _{3} > a _{4} > a _{5}$이다. (ⅰ) $a _{3} > a _{4} > a _{5} > 0$일 때 $b _{3} = a _{3}$, $b _{4} = a _{4}$, $b _{5} = a _{5}$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a _{3} > a _{4} > 0 \geq a _{5}$일 때 $a _{6} = a _{5} + d < 0$이므로 $b _{6} = - 2 a _{6}$ $\left( b _{4} + b _{6} \right) - 2 b _{5}$$= \left( a _{4} - 2 a _{6} \right) - 2 \left( - 2 a _{5} \right)$ $= \left( 8 + 3 d \right) - 2 \left( 8 + 5 d \right) + 4 \left( 8 + 4 d \right)$ $= 24 + 9 d$ $= 3 a _{4} > 0$ $b _{4} + b _{6} \neq 2 b _{5}$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $a _{3} > 0 \geq a _{4} > a _{5}$일 때 $a _{3} = 8 + 2 d > 0$에서 $d > - 4$이고 $a _{4} = 8 + 3 d \leq 0$에서 $\displaystyle d \leq - \frac{8}{3}$이므로 $\displaystyle - 4 < d \leq - \frac{8}{3}$ $a _{6} = a _{5} + d < 0$이므로 $b _{6} = - 2 a _{6}$ $b _{4} = - 2 a _{4}$, $b _{5} = - 2 a _{5}$, $b _{6} = - 2 a _{6}$이므로 $b _{4} + b _{6} = 2 b _{5}$가 성립한다. $b _{3} + b _{5} = 2 b _{4} + 6$에서 $a _{3} + \left( - 2 a _{5} \right) = 2 \times \left( - 2 a _{4} \right) + 6$ $\left( 8 + 2 d \right) - 2 \times \left( 8 + 4 d \right) = - 4 \times \left( 8 + 3 d \right) + 6$ $- 8 - 6 d = - 26 - 12 d$, $d = - 3$ (ⅳ) $0 \geq a _{3} > a _{4} > a _{5}$일 때 $b _{3} = - 2 a _{3}$, $b _{4} = - 2 a _{4}$, $b _{5} = - 2 a _{5}$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차가 $- 3$이므로 $a _{n} = 8 - 3 \left( n - 1 \right) = - 3 n + 11$이고 $\displaystyle b _{n} = \begin{cases} a _{n} & & \left( n \leq 3 \right) \\ - 2 a _{n} & & \left( n \geq 4 \right) \end{cases}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} b _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{3} a _{k} - 2 \sum\limits _{k = 4} ^{10} a _{k}$$\displaystyle = \left( 8 + 5 + 2 \right) - 2 \times \frac{7 \left( a _{4} + a _{10} \right)}{2}$ $= 15 - 7 \left( - 1 - 19 \right) = 155$