등차수열 자연수 항의 합

[출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 주어진 집합의 모든 원소의 합을 구한다. 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$로 놓으면 $a _{11} + a _{21} = 82$에서 $2 a + 30 d = 82$ $a _{11} - a _{21} = 6$에서 $- 10 d = 6$ 즉, $\displaystyle d = - \frac{3}{5}$ $\displaystyle a = 41 - 15 d = 41 - 15 \times \left( - \frac{3}{5} \right)$$= 50$ ∴ $\displaystyle a _{n} = 50 + ( n - 1 ) \times \left( - \frac{3}{5} \right)$ $a _{n}$이 자연수이려면 $n - 1 = 5 k$, 즉 $n = 5 k + 1$($k$는 음이 아닌 정수)의 형태이어야 하고, $\displaystyle a _{n} = 50 + ( n - 1 ) \times \left( - \frac{3}{5} \right) > 0$에서 $\displaystyle n < \frac{253}{3} = 84.3 \cdots$ 이므로 $n$이 가질 수 있는 값은 $1$, $6$, $11$, $\cdots$, $81$ 이고 그 개수는 $17$이다. 수열 $a _{1}$, $a _{6}$, $a _{11}$, $\cdots$, $a _{81}$은 첫째항이 $50$이고 제$17$항이 $2$인 등차수열이므로 그 합은 $\displaystyle \frac{17 ( 50 + 2 )}{2} = 442$