등차수열 합의 절댓값

[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 수열의 첫째항을 구하는 문제를 해결한다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하자. $d {\geq 0}$이면 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항이 양수이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > 0$이 되어 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 $d < 0$이어야 한다. (ⅰ) $S _{3} = S _{6}$인 경우 $\displaystyle \frac{3 \left( 2 a _{1} + 2 d \right)}{2}$$\displaystyle = \frac{6 \left( 2 a _{1} + 5 d \right)}{2}$에서 $a _{1} = \mathit{-} 4 d$이므로 $S _{3}$$= S _{6}$$= \mathit{-} 9 d$$> 0$, $S _{11}$$\displaystyle = \frac{11 \left( 2 a _{1} + 10 d \right)}{2}$$= 11 d$$< 0$ 즉, $S _{3} = \mathit{-} S _{11} - 3$에서 $- 9 d$$= \mathit{-} 11 d - 3$, $\displaystyle d = \mathit{-} \frac{3}{2}$ $a _{1}$$= \mathit{-} 4 d$$= 6$ (ⅱ) $S _{3} = \mathit{-} S _{6}$인 경우 $\displaystyle \frac{3 \left( 2 a _{1} + 2 d \right)}{2}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{6 \left( 2 a _{1} + 5 d \right)}{2}$에서 $a _{1} = \mathit{-} 2 d$이므로 $S _{3}$$= \mathit{-} S _{6}$$= \mathit{-} 3 d$$> 0$ $S _{11}$$\displaystyle = \frac{11 \left( 2 a _{1} + 10 d \right)}{2}$$= 33 d$$< 0$ 즉, $S _{3} = \mathit{-} S _{11} - 3$에서 $- 3 d = \mathit{-} 33 d - 3$, $\displaystyle d = \mathit{-} \frac{1}{10}$ $a _{1}$$= \mathit{-} 2 d$$\displaystyle = \frac{1}{5}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항의 합은 $\displaystyle 6 + \frac{1}{5}$$\displaystyle = \frac{31}{5}$이다.