등차수열 합의 최대

[출제의도] 등차수열의 합을 이해하여 첫째항을 구한다. 첫째항이 $a$이고 공차가 $- 4$인 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합 $S _{n}$은 $\displaystyle S _{n} = \frac{n \left\{ 2 a - 4 ( n - 1 ) \right\}}{2}$$= - 2 n ^{2} + ( a + 2 ) n$ 모든 자연수 $n$에 대하여 $S _{n} < 200$이므로 $- 2 n ^{2} + ( a + 2 ) n < 200$ $2 n ^{2} + 200 > ( a + 2 ) n$ $\displaystyle 2 n + \frac{200}{n} > a + 2$ $\cdots$ ㉠ 이때 $n > 0$이므로 $\displaystyle 2 n + \frac{200}{n} \geq 2 \sqrt{2 n \times \frac{200}{n}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{400} = 40$ (단, 등호는 $n = 10$일 때 성립) 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 ㉠이 성립하려면 $a + 2 < 40$이어야 하므로 자연수 $a$의 최댓값은 $37$이다. [다른 풀이] $\displaystyle S _{n} = \frac{n \left\{ 2 a - 4 ( n - 1 ) \right\}}{2}$$= - 2 n ^{2} + ( a + 2 ) n$에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $S _{n} < 200$이므로 $- 2 n ^{2} + ( a + 2 ) n < 200$ $2 n ^{2} - ( a + 2 ) n > - 200$ $f ( n ) = 2 n ^{2} - ( a + 2 ) n$이라 하면 $\displaystyle f ( n ) = 2 \left( n ^{2} - \frac{a + 2}{2} n \right)$ $\displaystyle = 2 \left\{ \left( n - \frac{a + 2}{4} \right) ^{2} - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{16} \right\}$ $\displaystyle = 2 \left( n - \frac{a + 2}{4} \right) ^{2} - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{8}$ 이때 $a$는 자연수이므로 $f ( n )$이 최소가 되게 하는 $n$은 $\displaystyle \frac{a}{4}$, $\displaystyle \frac{a + 1}{4}$, $\displaystyle \frac{a + 2}{4}$, $\displaystyle \frac{a + 3}{4}$ 중의 하나이다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $f ( n ) > - 200$이 성립하려면 네 부등식 $\displaystyle f \left( \frac{a}{4} \right) > - 200$, $\displaystyle f \left( \frac{a + 1}{4} \right) > - 200$, $\displaystyle f \left( \frac{a + 2}{4} \right) > - 200$, $\displaystyle f \left( \frac{a + 3}{4} \right) > - 200$ 이 모두 성립해야 한다. $\displaystyle \left. f \left( \frac{a}{4} \right) = 2 \times \frac{1}{4} - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{8} > - 200 \right.$에서 $( a + 2 ) ^{2} < 1604$ $\cdots$ ㉠ $\displaystyle \left. f \left( \frac{a + 1}{4} \right) = 2 \times \frac{1}{16} - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{8} > - 200 \right.$에서 $( a + 2 ) ^{2} < 1601$ $\cdots$ ㉡ $\displaystyle \left. f \left( \frac{a + 2}{4} \right) = - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{8} > - 200 \right.$에서 $( a + 2 ) ^{2} < 1600$ $\cdots$ ㉢ $\displaystyle \left. f \left( \frac{a + 3}{4} \right) = 2 \times \frac{1}{16} - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{8} > - 200 \right.$에서 $( a + 2 ) ^{2} < 1601$ $\cdots$ ㉣ ㉠, ㉡, ㉢, ㉣이 모두 성립하려면 $( a + 2 ) ^{2} < 1600$이어야 한다. ∴ $a + 2 < 40$ 따라서 자연수 $a$의 최댓값은 $37$이다.