등차수열 합 조건

[출제의도] 등차수열의 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하자. $a _{k + 1} = S _{k + 1} - S _{k}$이고 (가)에 의하여 $S _{k} > S _{k + 1}$을 만족시키는 가장 작은 자연수 $k$는 $a _{k + 1} < 0$을 만족시키는 가장 작은 자연수이다. 그러므로 $n \leq k$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} \geq 0$이고 $d < 0$이다. (나)의 $\displaystyle a _{8} = - \frac{5}{4} a _{5}$에 의하여 $a _{5} > 0$, $a _{8} < 0$이고, $a _{5} a _{6} a _{7} < 0$에 의하여 $a _{6} > 0$, $a _{7} < 0$이다. 그러므로 $k = 6$ $\displaystyle S _{6} = \frac{6 \left( 2 a + 5 d \right)}{2} = 102$이므로 $2 a + 5 d = 34$이고 $\displaystyle a + 7 d = - \frac{5}{4} \left( a + 4 d \right)$이므로 $3 a + 16 d = 0$이다. $a = 32$, $d = - 6$ 따라서 $a _{2} = a + d = 32 + \left( - 6 \right) = 26$