등차수열 합 조건

[출제의도] 등차수열의 일반항과 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 이용하여 특정한 항의 값을 구할 수 있는가? $S _{k} = - 16$, $S _{k+2} = - 12$ 에서 $S _{k+2} - S _{k} = a _{k+1} + a _{k+2}$$= 4$ 이고, 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차가 $2$이므로 $a _{1} + 2 k + a _{1} + 2 ( k + 1 ) = 4$ $a _{1} + 2 k + 1 = 2$ $a _{1} = 1 - 2 k$$\cdots \cdots$㉠ 이때 $S _{k} = - 16$에서 $\displaystyle \frac{k \left\{ 2 a _{1} + 2 ( k - 1 ) \right\}}{2} = - 16$ $k ( a _{1} + k - 1 ) = - 16$ 여기에 ㉠을 대입하면 $- k ^{2} = - 16$ $k$는 자연수이므로 $k = 4$ 이고, $a _{1} = 1 - 2 k = - 7$ 따라서 ∴ $a _{2k} = a _{8}$$= - 7 + 7 \times 2$$= 7$