등차수열 합 조건

[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 등차수열의 항의 값을 구할 수 있는가? $S _{k + 2} - S _{k} = a _{k + 2} + a _{k + 1}$ $S _{k} = - 16 , S _{k + 2} = - 12$이므로 $a _{k + 2} + a _{k + 1} = 4$ 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차가 $2$이므로 $a _{1} + 2 ( k + 1 ) + a _{1} + 2 k = 4$ $a _{1} + 2 k = 1$ $a _{1} = 1 - 2 k \cdots \cdots \text{㉠}$ $S _{k} = - 16$에서 $\displaystyle \frac{k \left\{ 2 a _{1} + ( k - 1 ) \times 2 \right\}}{2} = - 16$ $k ( a _{1} + k - 1 ) = - 14 \cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠을 ㉡에 대입하면 $k \left\{ ( 1 - 2 k ) + k - 1 \right\} = - 16$ $k ^{2} = 16$ $k$는 자연수이므로 $k = 4$ $k = 4$를 ㉠에 대입하면 $a = - 7$ 따라서 ∴ $a _{2 k} = a _{8} = - 7 + 7 \times 2 = 7$