등차수열 합 조건

[출제의도] 등차중항을 이용하여 등차수열의 합과 관련된 문제를 해결한다. $a _{k - 3}$, $a _{k - 2}$, $a _{k - 1}$은 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $a _{k - 2}$는 $a _{k - 3}$과 $a _{k - 1}$의 등차중항이다. 즉, $a _{k - 2}$$\displaystyle = \frac{a _{k - 3} + a _{k - 1}}{2}$$\displaystyle = \frac{- 24}{2}$$= \mathit{-} 12$ $S _{k}$$\displaystyle = \frac{k \left( a _{1} + a _{k} \right)}{2}$$\displaystyle = \frac{k \left( a _{3} + a _{k - 2} \right)}{2}$ $\displaystyle = \frac{k \left\{ 42 + \left( - 12 \right) \right\}}{2}$$= 15 k$ 따라서 $k ^{2} = 15 k$이고 $k \ne 0$이므로 $k = 15$ [다른 풀이 1] 수열 $\{ a _{n} \}$의 첫째항을 $a ,$ 공차를 $d$라 하면 $a _{3} = a + 2 d = 42$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $a _{k - 2}$$\displaystyle = \frac{a _{k - 3} + a _{k - 1}}{2}$, $a + \left( k - 3 \right) d = \mathit{-} 12$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle S _{k} = \frac{k \left\{ 2 a + \left( k - 1 \right) d \right\}}{2} = k ^{2}$이고, $k \ne 0$이므로 $2 a + \left( k - 1 \right) d = 2 k$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉢에서 ㉠을 빼면 $a + \left( k - 3 \right) d = 2 k - 42$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉡, ㉣에서 $2 k - 42 = \mathit{-} 12$이므로 $k = 15$ [다른 풀이 2] 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a ,$ 공차를 $d$라 하면 $a _{3} = a + 2 d = 42$, $a = 42 - 2 d$ …… ㉠ $a _{k - 3} + a _{k - 1}$$= a + \left( k - 4 \right) d + a + \left( k - 2 \right) d$$= \mathit{-} 24$이므로 $a + \left( k - 3 \right) d$$= \mathit{-} 12$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $42 - 2 d + kd - 3 d = \mathit{-} 12$, $kd - 5 d = - 54$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $\displaystyle S _{k} = \frac{k \left\{ 2 a + \left( k - 1 \right) d \right\}}{2} = k ^{2}$이고, $k \ne 0$이므로 $2 a + \left( k - 1 \right) d = 2 k$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉠을 ㉣에 대입하면 $84 - 4 d + kd - d = 2 k$, $kd - 5 d = 2 k - 84$ $\cdots$$\cdots$ ㉤ ㉢, ㉤에서 $2 k - 84 = \mathit{-} 54$이므로 $k = 15$