등차수열 합 집합 원소 수

[출제의도] 수열의 합을 활용하여 추론하기 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$$\left( a \ne 0 \right)$, 공차를 $d$라 하면 $S _{9} = S _{18}$이므로 $\displaystyle \frac{9 \left( 2 a + 8 d \right)}{2} = \frac{18 \left( 2 a + 17 d \right)}{2}$ $a = - 13 d$ $\displaystyle S _{n} = \frac{n \left\{ - 26 d + \left( n - 1 \right) d \right\}}{2} = \frac{d}{2} n \left( n - 27 \right)$ $S _{1} = S _{26} = - 13 d$, $S _{2} = S _{25} = - 25 d$, $S _{3} = S _{24} = - 36 d$, $\vdots$ $S _{13} = S _{14} = - 91 d$, $S _{27} = 0$, $S _{28} = 14 d$, $S _{29} = 29 d$, $\cdots$ 집합 $T _{n}$의 원소의 개수가 $13$이 되도록 하는 자연수 $n$의 값은 $13$, $14$, $\cdots$, $26$ 따라서 모두 자연수 $n$의 값의 합은 $13 + 14 + 15 + \cdots + 26 = 273$