등차수열 합 절댓값

[출제의도] 등차수열의 성질을 활용하여 문제 해결하기 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S _{n}$이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대하여 $\left| S _{n} \right| = \left| b \right| \geq 14$ $b$가 자연수이므로 $b \geq 14$ $S _{n}$$\displaystyle = \frac{n \left\{ 2 b + \left( n - 1 \right) \times \left( - 4 \right) \right\}}{2}$ $= - n \left( 2 n - b - 2 \right)$ $\displaystyle = - 2 n \left( n - \frac{b + 2}{2} \right)$ (ⅰ) $b$가 짝수인 경우 $\displaystyle S _{\frac{b + 2}{2}} = 0$이 되어 조건 $\left| S _{n} \right| \geq 14$를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $b$가 홀수인 경우 함수 $\displaystyle y = - 2 x \left( x - \frac{b + 2}{2} \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\left| S _{n} \right| \geq 14$이므로 $\displaystyle S _{\frac{b + 1}{2}} \geq 14$, $\displaystyle S _{\frac{b + 3}{2}} \leq - 14$를 동시에 만족시켜야 한다. $\displaystyle S _{\frac{b + 1}{2}} = - 2 \times \frac{b + 1}{2} \times \left( - \frac{1}{2} \right) \geq 14$ $b \geq 27$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle S _{\frac{b + 3}{2}} = - 2 \times \frac{b + 3}{2} \times \frac{1}{2} \leq - 14$ $b \geq 25$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $b \geq 27$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $b _{1} = 27$, $b _{2} = 29$, $b _{3} = 31$, $\cdots$ 이므로 $b _{m} = 2 m + 25$($m$은 자연수) 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{m = 1} ^{10} b _{m}$$\displaystyle = \sum\limits _{m = 1} ^{10} \left( 2 m + 25 \right)$ $\displaystyle = 2 \times \frac{10 \times 11}{2} + 250 = 360$